Question

如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=40cm，高AD=30cm，要把它加工成矩形零件，矩形EFGH的一边FG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，AD与EH的交点为点M，设FG=x cm，当x为何值时，这个矩形零件的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出AM，进而得到EF=AD-AM，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：设FG=xcm．
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴

AM

AD

=

EH

BC

，
∴

AM

30

=

x

40

，
解得AM=

3

4

x，
∴EF=MD=AD-AM=30-

3

4

x，
∴S_矩形EFGH=FG•EF=x（30-

3

4

x），
即S=-

3

4

x²+30x=-

3

4

（x²-40x+400）+300=-

3

4

（x-20）²+300，
所以，当x=20，即FG=20cm时，这个矩形零件的面积最大，最大面积是300cm²．

点评：本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形EFGH的长表示出宽是解题的关键．