【题目】如图所示,AB 是⊙O 的直径,P 为 AB 延长线上的一点,PC 切⊙O 于点 C,AD⊥PC, 垂足为 D,弦 CE 平分∠ACB,交 AB 于点 F,连接 AE.
(1)求证:PC=PF;
(2)若 tan∠ABC=,AE=5,求线段 PC 的长.
【答案】(1)见解析;(2)PC=12.
【解析】(1)由切线得:OC⊥PC,再得平行,由同圆的半径相等:OA=OC,根据等边对等角可得结论;
(2)证明∠PFC=∠PCF,根据等角对等边可得结论;
(3)根据三角函数的比设未知数,利用勾股定理列方程可得结论.
(1)证明:∵PC 为⊙O 的切线,
∴OC⊥PC,
∵AD⊥PC,
∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC 平分∠DAB;
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∴,
∴∠ABE=∠ECB,
∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°,
∴∠BCP=∠BAC,
∵∠BAC=∠BEC,
∴∠BCP=∠BEC,
∵∠PFC=∠BEC+∠ABE,∠PCF=∠ECB+∠BCP,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF;
(2)∵,
∴AE=BE=5,
又∵AB 是直径,
∴∠AEB=90°,
AB=BE=10,
∴OB=OC=5,
∵∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,
∴△PCB∽△PAC,
∴,
∵tan∠ABC=,
∴.
设 PB=2x,则 PC=3x,
在 Rt△POC 中,(2x+5)2=(3x)2+52, 解得 x1=0(舍)x2=4,
∵x>0,
∴x=4,
∴PC=3x=3×4=12.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于山顶的电视塔AB的高度,已知山的坡度为30°,山高857.5尺,组员从山脚D处沿山坡向着电视塔方向前进1620尺到达E点,在点E处测得电视塔顶端A的仰角为60°,求电视塔AB的高度.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知,的边上有一动点,从距离点的点处出发,沿线段、射线运动,速度为;动点从点出发,沿射线运动,速度为;、同时出发,同时射线绕着点从上以每秒5°的速度顺时针旋转,设运动时间是.
(1)当点在上运动时, (用含的代数式表示);
(2)当点在线段上运动时,为何值时,?此时射线是的角平分线吗?如果是请说明理由.
(3)在射线上是否存在、相距?若存在,请求出t的值并求出此时的度数;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】台湾是中国领土不可分割的一部分,两岸在政治、经济、文化等领域交流越来越深,在北京故宫博物院成立90周年院庆时,两岸故宫同根同源,合作举办了多项纪念活动.据统计,北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件,其中台北故宫博物院藏品数量比北京故宫博物院藏品数量的还少25万件,求北京故宫博物院约有多少万件藏品?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知线段,点为线段上的一个动点,点分别是和的中点.
(1)若点恰好是中点,则 ;
(2)若,求的长;
(3)试利用“字母代替数”的方法,说明不论取何值(不超过),的长不变.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足.动点从点出发,以2单位/秒的速度向右运动,同时,动点从点出发,以1单位秒的速度向左运动,线段为“变速区”,规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,从点运动到点期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.当点到达点时,两点都停止运动.设运动的时间为秒.
(1) ______,______,______;
(2)①动点从点运动至点时,求的值;
②两点相遇时,求相遇点在数轴上所对应的数;
(3)若点为线段中点,当________秒时,.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营,这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路.其中余姚至绍兴的成人票价12元/人,学生票价6元/人.余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游.
(1)设有名老师,求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用关于的函数表达式.
(2)若从余姚到绍兴的城际列车总费用不超过330元,问至少有几名学生?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知某个图形是按下面方法连接而成的:(0,0)→(2,0);(1,0)→(0,﹣1);(1,1)→(1,﹣2);(1,0)→(2,﹣1).
(1)请连接图案,它是一个什么汉字?
(2)作出这个图案关于y轴的轴对称图形,并写出新图案相应各端点的坐标,你得到一个什么汉字?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com