Question

6．已知，如图，在⊙O中，AB是直径，AD∥OC．
（1）求证：BC=CD；
（2）过O作OE⊥AD，若AE=3，∠OAC=30°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接BC，CD，根据平行线的性质得到∠OCA=∠CAD，由等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，等量代换得到∠OAC=∠DAC，即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠AEO=90°，根据三角形的内角和得到∠AOE=30°，然后由30°角的直角三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接BC，CD，
∵AD∥OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴BC=CD；

（2）解：∵OE⊥AD，
∴∠AEO=90°，
∵∠OAC=30°，
∴∠OAE=60°，
∴∠AOE=30°，
∵AE=3，
∴OA=2AE=6．
∴⊙O的半径是6．

点评 本题考查了平行线的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．