Question

13．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（0，-1）．
（1）请直接写出抛物线的解析式．
（2）经过原点O作直线（不与x、y轴重合）与抛物线交于点A、B，设点A、B的横坐标分别为m、n．
①猜测m、n之间的数量关系，并证明你的结论．
②连接MA、MB，试判断MA、MB是否垂直，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标可直接得出结论；
（2）①分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由点A、B的横坐标分别为m、n，可知A（m，m²-1），B（n，n²-1），AC=-m，OC=1-m²，BD=n，OD=n²-1．再由AC∥BD得出△AOC∽△BOD，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
②由M（0，-1）可知CM=m²-1+1=m²，DM=n²-1+1=n²，在△AMC与△MBD中，根据∠ACM=∠MDB=90°，$\frac{AC}{CM}$=$\frac{-m}{{m}^{2}}$=-$\frac{1}{m}$=n，$\frac{DM}{DB}$=$\frac{{n}^{2}}{n}$=n得出△AMC∽△MBD，故∠AMC=∠MBD，∠MBD+∠BMD=90°，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（0，-1），
∴b=0，c=-1，
∴抛物线的解析式为y=x²-1；

（2）①mn之间的关系为mn=-1，
理由：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵点A、B的横坐标分别为m、n，
∴A（m，m²-1），B（n，n²-1），
∴AC=-m，OC=1-m²，BD=n，OD=n²-1．
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OC}{OD}$，即$\frac{-m}{n}$=$\frac{1-{m}^{2}}{{n}^{2}-1}$，整理得（mn+1）（m-n）=0．
∵m≠n，
∴mn=1；

②MA⊥MB．
理由：∵M（0，-1），
∴CM=m²-1+1=m²，DM=n²-1+1=n²，
在△AMC与△MBD中，
∵∠ACM=∠MDB=90°，$\frac{AC}{CM}$=$\frac{-m}{{m}^{2}}$=-$\frac{1}{m}$=n，$\frac{DM}{DB}$=$\frac{{n}^{2}}{n}$=n，
∴△AMC∽△MBD，
∴∠AMC=∠MBD．
∵∠MBD+∠BMD=90°，
∴∠AMC+∠BMD=90°，即MA⊥MB．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线上点的坐标特点、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要作出辅助线，构造出相似三角形求解．