Question

5．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MH⊥x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形？小明发现：当动点M运动到（-1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，△MNP为等腰直角三角形，请你写出y轴上其它M在x轴上方点P的坐标（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．

Answer 1

分析 分两类情况讨论：当MN为直角边时和当MN为斜边时，如图1，当M运动到（-1，1）时，于是得到ON=1，MN=1，根据MN⊥x轴，所以由ON=MN可知（0，0）就是符合条件的一个P点；如图2，又当M运动到第三象限时，根据MN=MP且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），列方程解得x=-3，所以点P坐标为（0，-3），由于M在x轴上方，此时点P坐标为（0，-3）不合题意；如若MN为斜边时，根据ON=OP，列方程得到-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又如图2，当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，根据N′P=M′P，∠M′N′P=45°，列方程-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），解得x=-$\frac{3}{4}$，这时点P的坐标为（0，$\frac{3}{4}$）．

解答 解：如图1，当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合条件的一个P点；
如图2，又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有-x=-（2x+3），
解得x=-3，所以点P坐标为（0，-3），
∵M在x轴上方，∴此时点P坐标为（0，-3）不合题意；
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），
化简得-2x=-2x-3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又如图2，当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP=$\frac{1}{2}$M′N′，
∴有-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），
解得x=-$\frac{3}{4}$，这时点P的坐标为（0，$\frac{3}{4}$）．
因此，其他符合条件的点P坐标是（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，$\frac{3}{4}$），（0，1）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏．