Question

18．如图，在直角坐标系中有一个等腰△AOB，点O为坐标原点，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，点C是线段OA的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∠APO=∠CBO，抛物线y=ax²+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D．请你探索：是否存在这样的点M，使得△MAD∽△AOB．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥OB于点H，首先求出点A坐标，再求出线段OA的中点C的坐标即可．
（2）由于∠APO=∠CBO，所以由（1）可知：tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，从而可知PD=6，设P（x，0），可知|x-2|=6，解出x的值后，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）若△MAD∽△AOB，则∠MAN=∠AOB，由于（2）问中由两个抛物线解析式，所以分两种情况讨论，由于切点N的不确定性，所以点N的位置由两种，一种是点N在点A的上方，另一种是点N在点A的下方．

解答 解：（1）如图1中，过点A作AH⊥OB于点H．

∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵tan∠AOB=2，
∴AH=4，
∴点A的坐标为（2，4）．
∵C是OA的中点，
∴点C的坐标为（1，2）．

（2）由（1）可知：A的坐标为（2，4），
∵∠APO=∠CBO，
∴tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{2}{3}$，
∴PH=6，
设P的坐标为（x，0），
∵H（2，0），
∴PH=|x-2|
∴|x-2|=6，
∴x=8或x=-4，
∴P（8，0）或（-4，0）；
当P的坐标为（8，0）时，
把A（2，4）和（8，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+b}\\{0=64a+8b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
当P的坐标为（-4，0）时，
把A（2，4）和P（-4，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+2b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
综上所述，抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x或y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；

（3）当抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x时，如图2，


当△MAD∽△AOB时，
∵△AOB是等腰三角形，
∴∠MAD=∠AOB，
①若点N在A的上方时，
此时∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x轴，
∴M的纵坐标为4，
∴把y=4代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
解得：x=2（舍去）或x=6，
∴M的坐标为（6，4），
②如图3中，当点N在点A的下方时，此时∠MAN=∠AOB，

∴DM∥x轴，
过点A作AE⊥DM于点E，交于x轴于点F
∴DE=2-a，
∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，
∴AE=2DE=4-2a
∴由勾股定理可知：AD=$\sqrt{5}$（2-a）
∴$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{AD}$，
∴DM=$\frac{5（2-a）}{4}$，设M的横坐标为x，
∴x-a=$\frac{5（2-a）}{4}$．
∴x=$\frac{10-a}{4}$，
∴M（ $\frac{10-a}{4}$，2a）
把M（ $\frac{10-a}{4}$，2a）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
∴2a=-$\frac{1}{3}$（ $\frac{10-a}{4}$）²+$\frac{8}{3}$×（ $\frac{10-a}{4}$）
解得：a=2或a=-110
∴当a=2时，M（2，4）舍去
当a=-110时，M（30，-220）

当抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x时，如图4，

若点N在点A的上方时，
此时∠MAN=∠AOB，
延长MA交x轴于点F，
∵∠MAN=∠OAF，
∴∠AOB=∠OAF，
∴FA=FO，
过点F作FG⊥OA于点G，
∵A（2，4），
∴由勾股定理可求得：AO=2 $\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{5}$，
∵tan∠AOB=$\frac{GF}{OG}$，
∴GF=2 $\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：OF=5，
∴F的坐标为（5，0），
设直线MA的解析式为：y=mx+n，
把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线MA的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴解得：x=2（舍去）或x=-10，
把x=-10代入y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
∴y=20，
∴M（-10，20），
若点N在点A的下方时，
此时∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x轴，
∴M的纵坐标为4，
把y=4代入y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
∴x=-6或x=2（舍去），
∴M（-6，4），
综上所述，存在这样的点M（6，4）或（-10，20）或（-6，4），使得△MAD∽△AOB．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，待定系数法求解析式，解方程，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．