Question

16．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠DAB=∠EAC=90°，DC与BE交于P．
求证：PA是∠DPE的平分线．

Answer 1

分析 过点A分别作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分别为M，N，根据等腰直角三角形的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，则∠BAE=∠DAC，于是可根据“SAS”判断△BAE≌△DAC，根据全等三角形对应边上的高相等得到AN=AM，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到PA是∠DPE的平分线．

解答 证明：过点A分别作AM⊥DC，AN⊥BE，垂足分别为M，N，如图，
∵△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴AN=AM，
∴PA是∠DPE的平分线．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是证明A点到∠DPE的两边的距离相等．