Question

【题目】已知四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点E，点F在CB的延长线上，连结EF交AB于H，以EF为直径作⊙O，交直线AD于A、G两点，交BC于K点．

（1）如图1，连结AF，求证：四边形AFBD是平行四边形；

（2）如图2，当∠ABC＝90°时，求tan∠EFC的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连结OG，点P在弧FG上，过点P作PT∥OF交OG于T，PR∥OG交OF于R点，连结TR，若AG＝2，在点P运动过程中，探究线段TR的长是否为定值，如果是，则求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接AF，由EF是⊙O的直径知FA⊥AC，由四边形ABCD是菱形知BD⊥AC、AD∥FB，据此可得FA∥BD，即可得证；

（2）连接EK，先证四边形ABCD是正方形，由EF是⊙O的直径知FK⊥EK，设BK＝EK＝a，则BC＝AD＝FB＝2a，根据tan∠EFC＝可得答案；

（3）连接OP、FA，过点O作OM⊥GD，并延长MO交FC于点N，先证四边形PROT是矩形得RT＝OP＝OG，由MN⊥FC知tan∠EFC＝tan∠GOM＝，由AG＝2、OM⊥GD知GM＝1、OM＝3，由勾股定理可得GO＝，继而可得答案．

（1）如图1，连接AF，

∵EF是⊙O的直径，

∴∠FAC＝90°，即FA⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AD∥BC、即AD∥FB，

∴FA∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形；

（2）如图2，连接EK，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD是正方形，

∵EF是⊙O的直径，

∴FK⊥EK，

设BK＝EK＝a，则BC＝AD＝FB＝2a，

则tan∠EFC＝=；

（3）TR的长是定值，

如图3，连接OP、FA，过点O作OM⊥GD，并延长MO交FC于点N，

∵EF是⊙O的直径，

∴FA⊥EA，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝45°，

∴∠GAF＝45°，

∴∠GOF＝90°，

∵PT∥OF、PR∥OG，

∴四边形PROT是矩形，

∴RT＝OP＝OG，

∵OM⊥GD、GD∥FC，

∴MN⊥FC，

∴tan∠EFC＝tan∠GOM＝，

∵AG＝2、OM⊥GD，

∴GM＝1，

∴OM＝3，

由勾股定理可得GO＝，

∴RT＝．