Question

10．阅读观察下列解题过程：
例：计算$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$
解：因为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{（n+1）-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
所以$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{98×99}$+$\frac{1}{99×100}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{99}$+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$
计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）列项求解可得．

解答 解：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{101}$
=$\frac{50}{101}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）列项求解是解题的关键．