Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．

（1）当△ABD为等边三角形时，

①依题意补全图1；

②PQ的长为　 　；

（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；

（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）①根据题意画出图形即可．

②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．

（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．

（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t， ，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．

（1）解：①补全图形如图所示：

②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1

∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°

∴

∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°

∴PA＝ADtan60°＝2

∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ

∴△PDA≌△PDQ（SAS）

∴PQ＝PA＝2．

（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：

∵PA⊥AD，

∴∠PAD＝90°

由题意可知∠ADP＝45°

∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP

∴PA＝PD

∵∠ACB＝90°

∴∠ACD＝90°

∵AH⊥PF，PF⊥BQ

∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°

∴四边形ACFH是矩形

∴∠CAH＝90°，AH＝CF

∵∠ACH＝∠DAP＝90°

∴∠CAD＝∠PAH

又∵∠ACD＝∠AHP＝90°

∴△ACD≌△AHP（AAS）

∴AH＝AC＝1

∴CF＝AH＝1

∵，BC＝1，B，Q关于点D对称

∴，

∴

∴F为DQ中点

∴PF垂直平分DQ

∴PQ＝PD．

（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，

∵PD＝PQ，PF⊥DQ

∴

∵四边形AHFC是矩形

∴

∵△ACB∽△PAD

∴

∴

∴

∵△PAH∽△DAC

∴

∴

解得

∴．

故答案是：（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）．