Question

4．如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上-动点（不与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=$\sqrt{2}$t、OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax²+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围0＜t＜$\frac{3}{2}$，写出M的坐标：（2t，t）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，先计算OB的长，因为P为线段OB上-动点（不与O，B重合），利用时间=$\frac{路程}{速度}$得出t的取值；根据等腰直角三角形的性质表示边长OC和PC的长，写出点M的坐标；
（2）因为点M在抛物线上，所以把M（2t，t）代入到y=ax²+bx中化简即可；
（3）如图2，①根据平行线分线段成比例定理列比例式，得到关于t的方程解出即可；
②分两种情况讨论：
i）当0≤-$\frac{b}{2a}$≤$\frac{3}{2}$时，即a≤-$\frac{1}{2}$时，因为点P的横纵坐标相等，且点P在△AOB的边上，所以要想保证抛物线顶点N在△OAB的内部及边上，则顶点坐标的横坐标要大于或等于纵坐标，则-$\frac{b}{2a}$≥-$\frac{{b}^{2}}{4a}$，解得a≥-$\frac{3}{4}$，综合一起a的取值为-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{2}$；
ii）当$\frac{3}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$≤3时，即-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{8}$，因为∠OAB=45°，所以要想保证抛物线顶点N在△OAB的内部及边上，则OA-m≥n，列式得3-（-$\frac{b}{2a}$）≥-$\frac{{b}^{2}}{4a}$，得1≤b≤3，代入b=$\frac{1-4at}{2}$=$\frac{1}{2}$-2a计算出a的取值，则-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{4}$；综上所述：a的取值为：-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，要注意不是取公共部分，而是取所有符合i）和ii）的a值；因为m=-$\frac{b}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，根据a的取值计算m的取值．

解答 解：（1）如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∴OB=AB=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵P为线段OB上-动点（不与O，B重合），
∴0＜$\sqrt{2}$t＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴0＜t＜$\frac{3}{2}$，
∵四边形PCDM为正方形，
∴∠PCO=90°，
∵∠POC=45°，
∴△POC为等腰直角三角形，
∵OP=$\sqrt{2}$t，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M（2t，t）；
（2）把M（2t，t）代入到y=ax²+bx中得：
t=4at²+2tb，
1=4at+2b，
b=$\frac{1-4at}{2}$；
（3）①如图2，∵OB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OP=$\sqrt{2}$t，
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵PM∥OA，
∴$\frac{PM}{OA}=\frac{PB}{OB}$，
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}t}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$，
∴t=1；
②由（2）得：b=$\frac{1-4at}{2}$=$\frac{1}{2}$-2a，即4a=1-2b，
顶点N（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$）（a＜0，b＞0），
i）当0≤-$\frac{b}{2a}$≤$\frac{3}{2}$时，即a≤-$\frac{1}{2}$时，
-$\frac{b}{2a}$≥-$\frac{{b}^{2}}{4a}$，解得a≥-$\frac{3}{4}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{2}$，
ii）当$\frac{3}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$≤3时，即-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{8}$，
3-（-$\frac{b}{2a}$）≥-$\frac{{b}^{2}}{4a}$，
b²-4b+3≤0，
1≤b≤3，
1≤$\frac{1}{2}$-2a≤3，-$\frac{5}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，
则-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{4}$，
综上所述：a的取值为：-$\frac{3}{4}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，
m=-$\frac{b}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，
得：4am=4a-1，a=-$\frac{1}{4m-4}$=$\frac{1}{4（1-m）}$，
-$\frac{3}{4}$≤$\frac{1}{4（1-m）}$≤-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{4}{3}$≤m≤2．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了等腰直角三角形、正方形的性质，与二次函数相结合，根据点的坐标的特点，表示边的长及求点的坐标；对于动点P，要明确其运动的路径、速度、时间，根据路程OP的长和速度$\sqrt{2}$表示出时间的范围；根据45°的特殊三角函数值，计算出OC和PC的长；本题还利用了平行线分线段成比例定理列比例式，得方程，求出方程的解即可得到t的值；对于最后一个问题，利用了对称轴和顶点坐标分情况进行讨论，得出取值．