Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，动点P从A点出发，以每秒

2

个单位的速度沿AB向B点匀速运动，同时Q点从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC向C点匀速运动，设运动时间为t秒，0＜t＜4．
（1）将线段PQ绕P点逆时针旋转90°至PF，作QG∥AB交AC于G．
①如图1，当t=1时，求证：GQ=AP+GF；
②如图2，当2＜t＜4时，则线段：GQ、AP、GF之间有怎样的数量关系，证明你的结论；
（2）若以PQ为直径的圆与AC相切，直接写出t的值为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）①连接PG，过点P作PH⊥PG交QG于点H，可证得四边形PBQG和四边形APHG者是平行四边形，可证得△PQH≌△PFG，得QH=FG，代入可得结论；
②同①可得GQ=HG+QH=AP+GF；
（2）设圆心为M，与AC相切于点I，交BC于另一点为J，连接MI、PJ、BG、PG，则可知PQ=2MI=BC=4，在Rt△PQJ中，PJ=4-t，QJ=4-2t，利用勾股定理可求得t．

解答：解：（1）①如图1，连接PG，过点P作PH⊥PG交QG于点H，

当t=1时，BQ=1，AP=

2

，
则BP=3

2

，CQ=CG=3，
∴BP=QG=3

2

，
∴四边形PBQG为平行四边形，同理可知四边形APHG也是平行四边形，
又由旋转可知PQ=PF，
在△PQH和△PFG中，

PH=PG ∠QPH=∠GPF PQ=PF

，
∴△PQH≌△PFG（SAS），
∴QH=FG，
∴GQ=HG+QH=AP+GF；
②如图2，连接PG，过点P作PH⊥PG交QG于点H，

同①可证明四边形PBQG和四边形APHG都是平行四边形，
同理可证△PQH≌△PFG（SAS），
∴QH=FG，
∴AP=HG=HQ+QG=GF+GQ；
（2）如图3，设圆心为M，与AC相切于点I，交BC于另一点为J，
连接MI、PJ、BG、PG，

则可知PQ=2MI=BC=4，在Rt△PQJ中，
PJ=4-t，QJ=4-2t，则（4-t）²+（4-2t）²=4²，解得t=

4

5

或4，
又∵0＜t＜4，
∴t=

4

5

，
故答案为：

4

5

．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识的综合应用，在（1）通过作辅助线，构造三角形全等并利用线段的相等进行转化是解题的关键，在（2）中作出与AC相切的圆后找到相应的线段，用t表示出其长，化动为静是这类问题的常用思路，注意t值的范围．