Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；

（2）如图，将绕顶点B顺时针方向旋转，得到，连接AD、DC，，求证：，即四边形ABCD是勾股四边形。

Answer 1

【答案】(1)正方形、长方形、直角梯形(任选两个均可)；(2)证明过程见解析.

【解析】

(1)只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．

(2)首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．

解：(1)正方形、长方形、直角梯形(任选两个均可)

(2)证明：连结EC

∵△DBE是由△ABC绕顶点B顺时针方向旋转得到

∴△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴△DCE=90°，

∴DC2+CE2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2，

即四边形ABCD是勾股四边形.

故答案为：(1)正方形、长方形、直角梯形(任选两个均可)；(2)证明过程见解析.