Question

12．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至M，使BM=2，连接AM，BN⊥AM于N，O是AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得线段AM的长度，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AN}{AC}$，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．

解答 解：∵AB=4，BM=2，
∴AM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB²=AN×AM，BM²=MN×AM，
∴AN=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，MN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=4，CD=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴AO=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴$\frac{ON}{MC}$=$\frac{AO}{AM}$，即$\frac{ON}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，
∴ON=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本题的关键．