Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME，BN．

（1）补全图形；

（2）求ME：BN的值；

（3）问：点M在何处时BM+BN取得最小值？确定此时点M的位置，并求此时BM+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）ME：BN＝1；（3）当点M在∠BAC的平分线上运动到它与BE的交点处时，BM+BN取得最小值，为．

【解析】

（1）根据题意补全图形；
（2）延长AM交BC于点D，证明△AME≌△CNB，根据全等三角形的性质得到ME=BN，得到答案；
（3）根据ME=BN，得到BM+BN=BM+ME，根据两点之间线段最短、勾股定理计算即可．

（1）补全图形见图1：

（2）如图2，延长AM交BC于点D，
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∵AE⊥AB，
∴∠MAE+∠BAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠MAE=∠C，
在△AME和△CNB中，
，
∴△AME≌△CNB（SAS），

∴ME=BN，
∴ME：BN=1；
（3）∵ME=BN，
∴BM+BN=BM+ME，
∴当点M在∠BAC的平分线上运动到它与BE的交点处时，BM+BN取得最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴AE=BC=6，
∴BE= ，
∴BM+BN的最小值为．