Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形EFGD是正方形，点E、F在BC上，点D、G分别在AB、AC边上，且BE=4，FC=1，AH是△ABC的高．
（1）求EF的长；
（2）求AH的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）设正方形的边长为x，再根据相似三角形的判定定理得出△BDE∽△GCF，求出x的值，进而可得出结论．
（2）分别求HF和EH的值，可以求出CH和BH的值，即可求出AH的值．

解答：解：（1）设正方形的边长为x，
∵四边形DGFE是正方形，AH⊥BC，
∴AH⊥DE，
∵AH是△ABC的高，
∴∠CAH=∠B，
∴△BDE∽△GCF，
∴

CF

FG

=

DE

BE

即

1

x

=

x

4

，
EF=2；
（2）∵

DE

AH

=

BE

EH

，

FG

AH

=

CF

CH

，
∴

BE

EH

=

CF

CH

，∵EF=EH+FH=2，
解得：HF=

2

5

，
∴AH=

7

5

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．