如图.过点F的直线l与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+x+2交于点M.N两点.MA⊥x轴于点A.NB⊥x轴于点B．(1)抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+x+2顶点坐标为,．(2)若点N的横坐标为2.则直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$.在点M.N之间的抛物线上有一动点P.当△PMN的面积最大时.求点P的坐标,(3)已知NF=NB.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，过点F（-2，2）的直线l与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+2交于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+2顶点坐标为（-2，1）；．
（2）若点N的横坐标为2，则直线l的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$，在点M、N之间的抛物线上有一动点P，当△PMN的面积最大时，求点P的坐标；
（3）已知NF=NB，连接AF和FB，则∠AFB=90°，射线NM交x轴于点Q，且QA•QB=20，求点M的坐标．

分析（1）直接根据抛物线的顶点坐标即可得出结论；
（2）求出N点坐标，利用待定系数法即可得出直线l的解析式，设点P的坐标为P（m，$\frac{1}{4}$m²+m+2），过点P作PE∥y轴，交直线l于点E，则点E的坐标为E（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{7}{2}$），再由二次函数的性质即可得出结论；
（3）由NF=NB，∠1=∠2，再根据∠AFB=90°，NB⊥x轴于点B得出∠3=∠4，故△FQA∽△BQF，由相似三角形的对应边成比例求出QF的长，作FH⊥x轴于点H，利用待定系数法求出直线l的解析式，进而可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+x+2=$\frac{1}{4}$（x+2）²+1，
∴其顶点坐标为（-2，1）．
故答案为（-2，1）；

（2）∵点N的横坐标为2，
∴y=$\frac{1}{4}$×4+2+2=5，
∴N（2，5）．
∵F（-2，2），
∴设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}2k+b=5\\-2k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{3}{4}\\ b=\frac{7}{2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$．
设点P的坐标为P（m，$\frac{1}{4}$m²+m+2），过点P作PE∥y轴，交直线l于点E，则点E的坐标为E（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{7}{2}$），
则PE=y_E-y_P=（$\frac{3}{4}$m+$\frac{7}{2}$）-（$\frac{1}{4}$m²+m+2）=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{4}$m+$\frac{3}{2}$，
∵当PE最大时△PMN的面积最大，PE=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{4}$m+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{4}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，PE最长，此时P点坐标为P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{25}{16}$）．
故答案为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{2}$；

（3）∵NF=NB，
∴∠1=∠2，
又∵∠AFB=90°，NB⊥x轴于点B．
∴∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°
∴∠3=∠4
又∵∠FQA=∠BQF，
∴△FQA∽△BQF，
∴$\frac{QF}{QA}$=$\frac{QB}{QF}$，
∴QF2=QB•QA=20，
∴QF=2$\sqrt{5}$．
作FH⊥x轴于点H，则HQ²=$\sqrt{{QF}^{2}-{FH}^{2}}$=$\sqrt{20-4}$=4，
∴Q（-6，0）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
将F（-2，2）、Q（-6，0）代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=2\\-6k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+3．
当$\frac{1}{2}$x+3=$\frac{1}{4}$x²+x+2，
解得x₁=-1-$\sqrt{5}$，x₂=-1+$\sqrt{5}$（舍去）
∴M（-1-$\sqrt{5}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．

点评本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，在解答（3）时要注意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．

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（1）求AC、BC的长；
（2）当点Q在BC上运动时，若△PBQ与△ABC相似，求时间t的值；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，△PBQ与△ABC是否相似，请说明理由．

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