Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）当点Q在BC上运动时，若△PBQ与△ABC相似，求时间t的值；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，△PBQ与△ABC是否相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；
（2）若△PBQ与△ABC相似，①如图1，∠PQB=∠C=90°，得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，解$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，得到t=$\frac{30}{13}$，②如图2，∠QPB=∠C=90°，由$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，得到方程$\frac{10-t}{6}=\frac{2t}{10}$，t=$\frac{50}{11}$＞3，于是得到结论；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．

解答 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）若△PBQ与△ABC相似，
由已知条件得：AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，
①如图1，∠PQB=∠C=90°，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{30}{13}$；
②如图2，∠QPB=∠C=90°，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{10-t}{6}=\frac{2t}{10}$，
解得：t=$\frac{50}{11}$＞3．
综上所述：当t=$\frac{30}{13}$时，△PBQ与△ABC相似；

（3）如图3，当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}=\frac{PQ}{BC}$，
即：$\frac{x}{8}=\frac{14-2x}{10}=\frac{PQ}{6}$，
解得：x=$\frac{56}{13}$，PQ=$\frac{42}{13}$，
∴PB=10-x=$\frac{74}{13}$，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{\frac{42}{13}}{\frac{74}{13}}$=$\frac{21}{37}$≠$\frac{BC}{AC}$，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用