Question

3．问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c=13，求△ABC的面积．、
解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c=30，因为c=13，所以a+b=17，所以（a+b）²=289，所以a²+b²+2ab=289．因为a²+b²=c²，所以c²+2ab=289，所以169+2ab=289，所以ab=60（第1步），所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×60=30（第2步）．
合作探究：
（1）填空．
（2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是①（填序号）．
①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
方法迁移：
（3）已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的周长定义，勾股定理，三角形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）的解答过程得到由第1步到第2步体现出来的数学思想；
（3）设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数）．利用勾股定理和三角形的面积公式求得两直角边是6和8．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长．

解答 解：（1）解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c=30，因为c=13，所以a+b=17，所以（a+b）²=289，所以a²+b²+2ab=289．因为a²+b²=c²，所以c²+2ab=289，所以169+2ab=289，所以ab=60（第1步），所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×60=30（第2步）．
合作探究：
（2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是①．
方法迁移：
（3）设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数），则
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=1{0}^{2}}\\{\frac{1}{2}ab=24}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$．
所以这个直角三角形的周长是：6+8+10=24．
故答案为：30，17，289，b²+2ab，169，60，60，30；①．

点评 此题主要考查了利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．