Question

14．若点P为边长为5的等边三角形的一个动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，则PB+PE+PF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，若PD=6，PE=10，PF=8，则等边△ABC的面积为60．

Answer 1

分析 （1）过A作AM垂直于BC，由三角形ABC为等边三角形，根据三线合一得到M为BC中点，在直角三角形ABM中，由AB及BM的长，利用勾股定理求出AM的长，利用底BC与高AM乘积的一半求出等边三角形的面积，又三角形ABC的面积=三角形ABP的面积+三角形CBP的面积+三角形ACP的面积，利用三角形的面积公式分别表示出三个三角形的面积，相加等于求出的三角形ABC的面积，根据等边三角形的三边长相等，等量代换后提取AB，可得出PD+PE+PF的值．
（2）由（1）得到三角形的面积和PD、PE、PF的关系，直接代入求值就行．

解答 解：（1）过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图所示：
∵△ABC为等边三角形的边长为5，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
在直角三角形ABM中，AB=5，BM=$\frac{5}{2}$，
根据勾股定理得：AM=$\sqrt{{AB}^{2}{-BM}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
又∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
=$\frac{1}{2}$PE•AB+$\frac{1}{2}$PF•AC+$\frac{1}{2}$PD•BC
=$\frac{1}{2}$AB（PE+PF+PD），
∴$\frac{1}{2}$×5（PE+PF+PD）=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$
则PE+PD+PF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$；

（2）由（1）证得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB（PE+PF+PD），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×（10+8+6）=60．
故答案为：60．

点评 此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，其中连接P与三角形ABC的三个顶点，得出S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP是解本题的关键．