Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+3经过点B，且与x轴负半轴相交于点A，且BO=3AO
（1）求抛物线y=ax²+bx+3的解析式；
（2）如图2，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H，点P是抛物线上对称轴DH右侧一点，过P作对称轴DH的垂线PE，垂足为E．设PE长为m，DE=d，求出d与m之间的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接PC、BD，它们相交于点G，点F在DH上，过点F作DH的垂线交抛物线于M、N两点（点M在点N的左侧）．若CG=BG，且∠MPN=90°，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）求得顶点D的坐标，根据PE的长，可得出点P的坐标，过点P作x轴的垂线，垂足为O，证明四边形PEHQ为矩形，即可得出d与m之间的函数关系式；
（3）连接PF，可得点E的坐标，再根据勾股定理得出EF的长，连接OG交DH，证明△OCG≌△OBG，即可得出直线OT、BD、CG的解析式，根据点P在直线CG上，得出点P的坐标，再求得点N的坐标．

解答 解：（1）依题意可得，点B、C的坐标为（3，0），（0，3）；
∵OB=3OA，点A在x轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（-1，0），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{0=a×{3}^{2}+b×3+3}\\{0=a×（-1）^{2}+b×（-1）+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1，由（1）中的抛物线可知，顶点D的坐标为（1，4），
∴DH=4，
∵点P在抛物线上，PE与对称轴垂直，PE=m，
∴点P的横坐标为m+1，代入抛物线解析式得y=-（m+1）²+2（m+1）+3=-m²+4，
∴点P的坐标为（m+1，-m²+4），
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
∵∠PEH=∠PQH=∠EHQ=90°，
∴四边形PEHQ为矩形，
∴EH=PQ=-m²+4，
∴d=DE=DH-EH=4-（-m²+4）=m²；

（3）如图2，连接PF，
由（2）可知点E的坐标为（1，-m²+4），
设FM=FN=n，可知点N坐标为（n+1，-n²+4），
∴点F坐标为（1，-n²+4），
∴EF=（-m²+4）-（-n²+4）=n²-m²，
∵∠MPN=90°，F是斜边MN的中点，
∴PF=FN=n，
在Rt△PEF中，由勾股定理可得PE²+EF²=PF²，
∴m²+（n²-m²）²=n²，
∴（n²-m²）²=n²-m²，
∴EF²=EF，
∴EF=1，
连接OG交DH于点T，
在△OCG和△OBG中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{OG=OG}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△OCG≌△OBG，
∴∠GOC=∠GOB=45°，
∴TH=OH=1，
∴T（1，1），
∴直线OT的解析式为y=x，
∴点G在直线y=x上；
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
∵点G在BD上，∴点G的坐标为（2，2），
设直线GC的解析式为y=k₁x+b₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3={b}_{1}}\\{2=2{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴直线CG的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∵点P在直线CG上，∴可设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+3），
∴-$\frac{1}{2}$x+3=-x²+2x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$；
∴满足要求的点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴$\frac{7}{4}$-1=$\frac{3}{4}$，
∴-n²+4=$\frac{3}{4}$，
∵n＞0，
∴n=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴点N坐标为（$\frac{\sqrt{13}}{2}$+1，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算、平行四边形、全等三角形等．本题综合性较强、考查知识点较多、难度较大，注重了知识与能力的考查．