Question

4．如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b²＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是①④．

Answer 1

分析 ①由图象与x轴有交点，对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b²-4ac＞0，可对①进行判断；
②由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=-1，可以②进行分析判断；
③由x=-1时y有最大值，由图象可知y≠0，可对③进行分析判断；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得5a-b=-c＜0，即5a＜b，即可对④进行判断．

解答 解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x=$-\frac{b}{2a}$=-1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；
③∵x=-1时y有最大值，
由图象可知y≠0，故③错误；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，
两边相加整理得5a-b=-c＜0，即5a＜b，故④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．