Question

15．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段OF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，通过证明△PAO和△PBO全等，得到∠PAO=∠PBO=90°，从而证明直线PA为⊙O的切线；
（2）通过证明△OAD和△OPA相似得到；
（3）设AD=x，在Rt△AOD中，通过勾股定理列方程求出AD，进而求出cos∠ACB的值和线段PE的长．

解答 （1）证明：连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠POA=∠POB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）OF²=OD×OP．  
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOP=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{OA}{OP}$，
即OA²=OD×OP，OF²=OD•OP．
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=12，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=6，
设AD=x，∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，OA=OF=2x-6，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
得（2x-6）²=x²+6²，
解得x₁=8，x₂=0（不合题意，舍去），
∴AD=8，OA=2x-6=10，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=20，BC=12，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∴OA²=OD×OP，
∴6（PE+10）=100，
∴PE=$\frac{20}{3}$．

点评 本题综合考查了切线的判定与性质，相似，勾股定理及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质以及应用勾股定理列出方程是解本题的关键．