Question

6．（1）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由，你添加的条件是：BD=DC．
（2）在（1）的基础上，过点D作⊙O的切线与AC相交于E，此时，判断DE是否与AC垂直，并请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可知△ABD和△ACD是直角三角形，添加BD=CD，利用垂直平分线的性质得出AB=AC，利用“HL”证明全等；
（2）DE⊥AC，连接OD，先证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等，证明∠CED=∠ODE=90°，可得DE⊥AC．

解答 解：（1）BD=DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（HL）；
（2）DE⊥AC，
连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，由（1）可知，BD=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°，
即DE⊥AC．

点评 本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定．连接圆心和切点即可得到垂直关系，在以后遇到切线的问题，就考虑连接圆心和切点，构成垂直关系．