Question

20．已知直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=3，OB=4，点P（t，0）是OB边上的动点，过点P作PC∥AB交y轴于点C，同时过点P作PD⊥x轴交AB于点D
（1）求直线AB的解析式并求点C的坐标（用t的代数式表示）；
（2）点P在什么位置是，四边形ACPD的面积最大？最大面积是多少？
（3）点P运动过程中，△CPD是否可能是直角三角形？若可能写出此时点D的坐标；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的解析式，把A、B两点坐标代入可求得其解析式，再由PC∥AB，可得∠ABO=∠CPO，再利用三角函数的定义可求得OC，可写出t的坐标；
（2）可判定四边形ACPD为平行四边形，可用t表示出AC、OP，可表示出其面积，再利用函数的性质可求得t的值及最大面积；
（3）分C和D为直角顶点，分别表示出C、P、D的坐标，再根据相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵OA=3，OB=4，
∴A（0，3），B（4，0），代入解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
∵tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，PC∥AB，
∴∠ABO=∠CPO，
∴tan∠CPO=$\frac{CO}{t}$=$\frac{3}{4}$，
∴CO=$\frac{3}{4}$t，
∴C（0，$\frac{3}{4}$t）；
（2）∵AB∥CP，AC∥DP，
∴四边形ACPD是平行四边形
∵A（0，3），C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0）
∴AC=3-$\frac{3}{4}$t，OP=t，
∴S_{四边形ACPD}=AC•OP=（3-$\frac{3}{4}$t）t=-$\frac{3}{4}$（t-2）²+3，
∴当CP=2时，四边形ACPD的面积最大，它的面积是3；
（3）由题可知P不可能是直角顶点，可分两种情况：
①当点C为直角顶点时，过点D作DF⊥y轴于点F，如图1，

则A（0，3），C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0），D（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∴DF=t，CO=$\frac{3}{4}$t，FC=-$\frac{3}{4}$t+3-$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{2}$t+3，OP=t，
∵∠DCF+∠PCO=∠PCO+∠OPC，
∴∠DPF=∠OPC，且∠PFC=∠COP，
∴△CFD～△POC，
∴$\frac{DF}{CO}$=$\frac{FC}{OP}$，即$\frac{t}{\frac{3}{4}t}$=$\frac{-\frac{3}{2}t+3}{t}$，
解得t=$\frac{18}{17}$，则-$\frac{3}{4}$t+3=$\frac{75}{34}$，
∴D（$\frac{18}{17}$，$\frac{75}{34}$）；
②当点D为直角顶点时，
∵C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0）
∴D（t，$\frac{3}{4}$t），
又∵D在直线AB上，把点D代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可得$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{4}$t+3，解得t=2，
∴D（2，$\frac{3}{2}$）；
综上可知D点坐标为（$\frac{18}{17}$，$\frac{75}{34}$）或（2，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识点的综合应用．在（1）中利用平行得到∠ABO=∠CPO是解题的关键，在（2）中用t分别表示出四边形ACPD的底和高是解题的关键，在（3）中确定出点D的位置是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度适中．注意分类讨论思想和方程思想的应用．