Question

7．关于x的函数y=2mx²+（1-m）x-1-m（m是实数），探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$；
④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．

Answer 1

分析 ①通过反例即可判断；
②把m=-3代入，然后化成顶点式即可判断；
③求得与x轴的交点，进而求得|x₁-x₂|的值，即可判断；
④由y=2mx²+（1-m）x-1-m=（2x²-x-1）m+x-1，可知当2x²-x-1=0时，y的值与m无关，此时x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$，当x₁=1，y=0；当x₂=-$\frac{1}{2}$时，y₂=-$\frac{3}{2}$，从而判定函数图象总经过两个定点（1，0），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

解答 解：①假命题；                    
当m=0时，y=x-1为一次函数
与坐标轴只有两个交点，
②真命题；                            
当m=-3时，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴顶点坐标是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$），
③真命题；                                             
当m＞0时，由y=0得：△=（1-m）²-4×2m（-1-m）=（3m+1）²，
∴x=$\frac{m-1±（3m+1）}{4m}$，
∴x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$；
④真命题；                                 
当m≠0时，y=2mx²+（1-m）x-1-m=（2x²-x-1）m+x-1，
当2x²-x-1=0时，y的值与m无关
此时x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$，
当x₁=1，y=0；当x₂=-$\frac{1}{2}$时，y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，抛物线与二次函数的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．