Question

19．倾听理解：
一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片断：

问题解决：
（1）填空：图②中，乙发现的$\frac{MN}{PM}$的比值是$\frac{1}{2}$；
（2）记图①，图②中MN为d₁，d₂，分别求出d₁，d₂与m之间的函数关系式．
拓广探索：
（3）如图③，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x²-4x和y=x²-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x²-4x，y=x²-3x与x轴的另一交点．
①当m为何值时，在线段OP，PM，PN，MN的四个长度中，其中有三个能围成等边三角形？
②设两条抛物线的顶点分别为K、Q，试用含有m的代数式表示以K、Q、A、P四点为顶点的四边形面积S．

Answer 1

分析 （1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，即可求出结果；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）①由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值；
②分两种情况：a：当0＜m＜3时，过Q作x轴的平行线交直线PK于E；先求出直线PK的解析式，再求出E的坐标，用梯形APEQ的面积减去△EQK的面积即为所求的面积S；b：当m＞3时，过Q作x轴的平行线交直线AK于E，先求出直线AK的解析式，再求出E的坐标，用梯形APQE的面积减去△EQK的面积即为所求的面积S．

解答 解：（1）当x=m时，则M点的纵坐标为$\frac{2}{m}$，N点的纵坐标为$\frac{3}{m}$，
∴MN=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{MN}{PM}$=$\frac{\frac{1}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
∴d₁=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为$\frac{2}{m}$，N点的纵坐标为$\frac{3}{m}$，
∴MN=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，
∴d₂=$\frac{1}{m}$；
（3）①OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=m，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5或m=3或m=4或m=2，
当m=3时，点P与点A重合，当m=4时，点P与点B重合，
∴m=2或5；
②分两种情况：a：当0＜m＜3时，如图1所示：
过Q作x轴的平行线交直线PK于E；
设直线PK的解析式为y=kx+b，
∵抛物线y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴Q（2，-4），
∵y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
把点K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），P（m，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\\{km+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{9}{4m-6}$，b=-$\frac{9m}{4m-6}$，
∴y=$\frac{9}{4m-6}$x-$\frac{9m}{4m-6}$，
当y=-4时，$\frac{9}{4m-6}$x-$\frac{9m}{4m-6}$=-4，
解得：x=$\frac{24-7m}{9}$，
∴E（$\frac{24-7m}{9}$，-4），
∴EQ=2-$\frac{24-7m}{9}$=$\frac{7m-6}{9}$，
∴S_梯形APEQ=$\frac{1}{2}$（3-m+$\frac{7m-6}{9}$）×4=$\frac{42-9m}{9}$，
S_△EQK=$\frac{1}{2}$×$\frac{7m-6}{9}$（4-$\frac{9}{4}$）=$\frac{49m-42}{72}$，
∴以K、Q、A、P四点为顶点的四边形面积S=S_梯形APEQ-S_△EQK 
=$\frac{42-9m}{9}$-$\frac{49m-42}{72}$=$\frac{42-9m}{8}$（m≠$\frac{6}{7}$）；
b：当m＞3时，过Q作x轴的平行线交直线AK于E，如图2所示：
∵抛物线y=x²-3x，当y=0时，x=0或x=3，∴A（3，0），
设直线AK的解析式为y=kx+b
，把点A（3，0），K（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{4}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=$-\frac{9}{2}$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{2}$，当y=-4时，$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{2}$=-4，
解得：x=$\frac{1}{3}$，∴E（$\frac{1}{3}$，-4），
∴EQ=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴S_△EQK=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×（4-$\frac{9}{4}$）=$\frac{35}{24}$，
S_梯形APQE=$\frac{1}{2}$（m-3+$\frac{5}{3}$）×4=2m-$\frac{8}{3}$，
∴S=S_梯形APQE-S_△EQK=2m-$\frac{8}{3}$-$\frac{35}{24}$=$\frac{16m-33}{8}$；
综上所述：当0＜m＜3，且m≠$\frac{6}{7}$时，S=$\frac{42-9m}{8}$；当m＞3时，S=$\frac{16m-33}{8}$．

点评 本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的各种性质以及等边三角形的性质和梯形的面积公式、三角形的面积公式等知识；题目的综合性较强，难度很大，对学生的解题能力要求很高，特别是（3）的②中，需要通过作辅助线用函数解析式求出点的坐标才能得出面积．