Question

9．已知：有理数a，b，c满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{a+b+c}$，求证：a=-b或b=-c或c=-a．

Answer 1

分析 已知等式移项变形后，两边通分并利用同分母分式的加减法则变形，整理后利用三数相乘积为0，三数中至少有一个为0即可得证．

解答 证明：由已知，得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{a+b+c}$-$\frac{1}{c}$，
通分，得$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{c-a-b-c}{c（a+b+c）}$，
去分母、移项，得c（a+b）（a+b+c）+ab（a+b）=0，
整理得：（a+b）（ac+bc+c²+ab）=0，
即（a+b）（b+c）（a+c）=0，
可得a+b=0或b+c=0或a+c=0，
则a=-b或b=-c或c=-a．

点评 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．