Question

17．有下列4个命题：①方程x²-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{6}$=0的两个根是$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$；②点P（x，y）坐标x，y满足x²+y²+4x-2y+5=0，若P点在y=$\frac{k}{x}$上，则k=-2；③在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=$\frac{9}{4}$，则CD=3；④若实数b，c满足1+b+c＞0，1-b+c＜0，则关于x的方程x²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，且较大根x₀满足-1＜x₀＜0．其中真命题的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用因式分解法解方程可对①进行判断；利用配方法求出x、y的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征对②进行判断；根据射影定理对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题对④进行判断．

解答 解：方程x²-（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{6}$=0的两个根是$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$，所以①正确；
由x²+y²+4x-2y+5=0得（x+2）²+（y-1）²=0，则x=-2，y=1，所以k=-2×1=-2，所以②正确；
CD²=AD•BD=4×$\frac{9}{4}$，则CD=3，所以③正确；
抛物线y=x²+bx+c=0的开口向上，当x=1时，y=1+b+c＞0，当x=-1时，y=1-b+c＜0，即抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的方程x²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，由于抛物线与x轴的一个交点可能在（0，0）与（1，0）之间，所以④错误．
故选B．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．