Question

如图，一次函数y=kx+4的图象与反比例函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，求证：AC=BD．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先把y=kx+4代入y=

m

x

，整理得kx²+4x-m=0，解方程求出x的值，得到A（

-2+ km+4

k

，2+

km+4

），B（

-2- km+4

k

，2-

km+4

）．再由一次函数y=kx+4的图象与x轴，y轴分别交于C、D两点，求出C（-

4

k

，0），D（0，4），然后根据两点之间的距离公式求出AC²=（

-2+ km+4

k

+

4

k

）²+（2+

km+4

-0）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，BD²=（

-2- km+4

k

-0）²+（2-

km+4

-4）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，从而证明AC=BD．

解答：解：把y=kx+4代入y=

m

x

，得kx+4=

m

x

，
整理，得kx²+4x-m=0，
解得x=

-2± km+4

k

，
所以A（

-2+ km+4

k

，2+

km+4

），B（

-2- km+4

k

，2-

km+4

）．
∵一次函数y=kx+4的图象与x轴，y轴分别交于C、D两点，
∴C（-

4

k

，0），D（0，4）．
∵AC²=（

-2+ km+4

k

+

4

k

）²+（2+

km+4

-0）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，
BD²=（

-2- km+4

k

-0）²+（2-

km+4

-4）²=（

2+ km+4

k

）²+（2+

km+4

）²，
∴AC²=BD²，
∴AC=BD．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点之间的距离公式，正确求出交点坐标是解题的关键．