Question

17．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点H是AB延长线上一点，连结DH，交BC于M，分别过A点作AN⊥DH，垂足为点N．
（1）证明：△AND∽△DMC；
（2）若∠H=30°，求NH的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是边长为4的正方形，于是得到∠ADC=∠C=90°，根据余角的性质得到∠NAD=∠CDM，∠AND=∠C，于是得到结论；
（2）根据∠DAH=90°，∠H=30°，得到DH=2AD=8，由于∠AND=90°，∠ADN=60°，推出∠DAN=30°，于是得到DN=$\frac{1}{2}$AD=2，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AN⊥DH，
∴∠AND=90°，
∴∠NAD+∠ADN=∠ADN+∠CDN=90°，
∴∠NAD=∠CDM，∠AND=∠C，
∴△AND∽△DMC；

（2）解：∵∠DAH=90°，∠H=30°，
∴DH=2AD=8，
∵∠AND=90°，∠ADN=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴NH=DH-DN=6．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．