【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的顶点C的坐标是(6,4),动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿线段AC运动,同时动点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度沿线段BO运动,当Q到达O点时,P,Q同时停止运动,运动时间是t秒(t>0).
(1)如图1,当时间t= 秒时,四边形APQO是矩形;
(2)如图2,在P,Q运动过程中,当PQ=5时,时间t等于 秒;
(3)如图3,当P,Q运动到图中位置时,将矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E,连接OP,OE,此时∠POE=45°,连接PE,求直线OE的函数表达式.
【答案】(1)t=2;(2)1或3;(3)y=x.
【解析】
先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长.
(1)由四边形APQO是矩形可得AP=OQ,列得方程即可求出t.
(2)过点P作x轴的垂线PH,构造直角△PQH,求得HQ的值.由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ,即列得方程求出t.根据t的取值范围考虑t的合理性.
(3)由轴对称性质,对称轴PQ垂直平分对应点连线OC,得OP=PE,QE=OQ.由∠POE=45°可得△OPE是等腰直角三角形,∠OPE=90°,即点E在矩形AOBC内部,无须分类讨论.要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN,易证△MPE≌△AOP,由对应边相等可用t表示EN,QN.在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t.
∵矩形AOBC中,C(6,4)
∴OB=AC=6,BC=OA=4
依题意得:AP=t,BQ=2t(0<t≤3)
∴PC=AC﹣AP=6﹣t,OQ=OB﹣BQ=6﹣2t
(1)∵四边形APQO是矩形
∴AP=OQ
∴t=6﹣2t
解得:t=2
故答案为:2.
(2)过点P作PH⊥x轴于点H
∴四边形APHO是矩形
∴PH=OA=4,OH=AP=t,∠PHQ=90°
∵PQ=5
∴HQ=
①如图1,若点H在点Q左侧,则HQ=OQ﹣OH=6﹣3t
∴6﹣3t=3
解得:t=1
②如图2,若点H在点Q右侧,则HQ=OH﹣OQ=3t﹣6
∴3t﹣6=3
解得:t=3
故答案为:1或3.
(3)过点E作MN⊥x轴于点N,交AC于点M
∴四边形AMNO是矩形
∴MN=OA=4,ON=AM
∵矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E
∴PQ垂直平分OE
∴EQ=OQ=6﹣2t,PO=PE
∵∠POE=45°
∴∠PEO=∠POE=45°
∴∠OPE=90°,点E在矩形AOBC内部
∴∠APO+∠MPE=∠APO+∠AOP=90°
∴∠MPE=∠AOP
在△MPE与△AOP中
∴△MPE≌△AOP(AAS)
∴PM=OA=4,ME=AP=t
∴ON=AM=AP+PM=t+4,EN=MN﹣ME=4﹣t
∴QN=ON﹣OQ=t+4﹣(6﹣2t)=3t﹣2
∵在Rt△ENQ中,EN2+QN2=EQ2
∴(4﹣t)2+(3t﹣2)2=(6﹣2t)2
解得:t1=﹣2(舍去),t2=
∴AM=+4=,EN=4﹣=
∴点E坐标为(,)
∴直线OE的函数表达式为y=x.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,得出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在“学习雷锋活动月”中,某校九(2)班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动(每人只参加一个活动).为了了解情况,小明收集整理相关的数据后,绘制如图所示,不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)求该班的人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)求扇形统计图中,广告清除部分对应的圆心角的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为2,CF=1,求的长(结果保留π).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,矩形ABCD,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,点P在对角线BD上,并且A,O,P组成以OP为腰的等腰三角形,那么OP的长等于___.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某超市预测某饮料有发展前途,用1600元购进一批饮料,面市后果然供不应求,又用6000元购进这批饮料,第二批饮料的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元?
(2)若二次购进饮料按同一价格销售,两批全部售完后,获利不少于1200元,那么销售单价至少为多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O是正△ABC的外接圆,点D为圆上一点,连接AD,分别过点B和点C作AD延长线的垂线,垂足分别为点E和点F,连接BD、CD,已知EB=3,FC=2,现在有如下4个结论:①∠CDF=60°;②△EDB∽△FDC;③BC=;④,其中正确的结论有( )个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,全校同时默写50首古诗词,每正确默写出一首古诗词得2分,结果有500名进入决赛,从这500名的学生中随机抽取50名学生进行成绩分析,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:(最高分98分):
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
Ⅰ.第3组的具体分数为:70,70,70,72,72,74,74,74,76,76,78,78,78,78
Ⅱ.50人得分平均数、中位数、众数如表:
平均数 | 中位数 | 众数 | |
得分(分) | m | n |
请结合图表数据信息完成下列各题:
(1)填空a= ,m= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于80分为优秀,估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着新能源汽车的发展,某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车,计划购买A型和B型新能源公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需300万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需270万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com