Question

13．如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN 于C．设AD=x，BC=y． 
（1）求证：AM∥BN；
（2）求y关于x的关系式；
（3）求四边形ABCD的面积S．

Answer 1

分析 （1）由AB是直径，AM、BN是切线，得到AM⊥AB，BN⊥AB，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得到结论；
（2）过点D作 DF⊥BC于F，则AB∥DF，由（1）AM∥BN，得到四边形ABFD为矩形，于是得到DF=AB=2，BF=AD=x，根据切线长定理得DE=DA=x，CE=CB=y．根据勾股定理即可得到结果；
（3）根据梯形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；

（2）解：过点D作 DF⊥BC于F，则AB∥DF，
由（1）AM∥BN，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF=AB=2，BF=AD=x，
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y．
在Rt△DFC中，DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=2²+（y-x）²，
化简，得$y=\frac{1}{x}（x＞0）$．

（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积$S=\frac{1}{2}AB（AD+BC）=\frac{1}{2}×2×（{x+\frac{1}{x}}）$，
即$S=x+\frac{1}{x}（x＞0）$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定，矩形的性质，勾股定理，求梯形的面积，正确的周长辅助线是解题的关键．