如图.P是△ABC内一点.连结PB.PC．探究一:当∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC.∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB时.∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A是否成立?并说明理由．探究二:当∠1=$\frac{1}{3}$∠ABC.∠2=$\frac{1}{3}$∠ACB时.∠P与∠A的关系是120°+$\frac{1}{3}$∠A.请说明理由．探究三:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，P是△ABC内一点，连结PB、PC．
探究一：当∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB时，∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A是否成立？并说明理由．
探究二：当∠1=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{3}$∠ACB时，∠P与∠A的关系是120°+$\frac{1}{3}$∠A，请说明理由．
探究三：当∠1=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{n}$∠ACB时，请直接写出∠P与∠A的关系式是：180°-$\frac{180°}{n}$+$\frac{1}{n}$∠A．

分析（1）由已知BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，可推出∠P=180°-∠1-∠2=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）当∠1=$\frac{1}{3}$∠ABC；∠2=$\frac{1}{3}$∠ACB时，∠P=180°-∠1-∠2=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）=120°+∠A；
（3）当∠1=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{n}$∠ACB时，仿照（3）的分析，得出结论．

解答解：（1）成立，理由如下：
∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∠P=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠P=120°+$\frac{1}{3}$∠A，
理由如下：
∠1=$\frac{1}{3}$ABC，∠2=$\frac{1}{3}$∠ACB，
∠1+∠2=$\frac{1}{3}$（180°-∠A）=60°-$\frac{1}{3}$∠A，
∠P=180°-（∠1+∠2）=180°-（60°-$\frac{1}{3}$∠A）=120°+$\frac{1}{3}$∠A，
（3）∠P=180°-$\frac{180°}{n}$+$\frac{1}{n}$∠A，
理由如下：
∠1=$\frac{1}{n}$ABC，∠2=$\frac{1}{n}$∠ACB，
∠1+∠2=$\frac{1}{n}$（180°-∠A），
∠P=180°-（∠1+∠2）=180°-$\frac{180°}{n}$+$\frac{1}{n}$∠A．

点评本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

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