【题目】如图, 中, 于,且.
()试说明是等腰三角形.
()已知,如图,动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动,同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点运动的时间为(秒).
①若的边与平行,求的值.
②若点是边的中点,问在点运动的过程中, 能否成为等腰三角形?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)①为或;②能, 值为或或,理由见解析
【解析】试题分析:(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出结论;
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC;①当MN∥BC时,AM=AN;当DN∥BC时,AD=AN;得出方程,解方程即可;
②根据题意得出当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能:如果DE=DM;如果ED=EM;如果MD=ME=t-4;分别得出方程,解方程即可.
试题解析:
(1)证明:设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,
在Rt△ACD中,AC==5x,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)解:S△ABC=×5x×4x=40cm2,而x>0,
∴x=2cm,
则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.
①当MN∥BC时,AM=AN,
即10-t=t,
∴t=5;
当DN∥BC时,AD=AN,
得:t=6;
∴若△DMN的边与BC平行时,t值为5或6.
②当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE;
当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形,
当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.
如果DE=DM,则t-4=5,
∴t=9;
如果ED=EM,则点M运动到点A,
∴t=10;
如果MD=ME=t-4,
过点E做EF垂直AB于F,
因为ED=EA,
所以DF=AF=AD=3,
在Rt△AEF中,EF=4;
因为BM=t,BF=7,
所以FM=t-7,
则在Rt△EFM中,(t-4)2-(t-7)2=42,
∴t=.
综上所述,符合要求的t值为9或10或.
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【题目】如图,边长12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=3,则小正方形的边长为何?( )
A.
B.
C.5
D.6
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.
(1)补充完成图形;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
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【题目】小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A至出水管BD的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm.
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【题目】在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.
(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;
(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.
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【题目】已知:在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车,快车长(单位长度)。慢车长(单位长度),设正在行驶途中的某一时刻,如图,以两车之间的某点为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车在数轴上表示的数是,慢车头在数轴上表示的数是,若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶,且与互为相反数.
(1)求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度?
(2)从此时刻开始算起,问再行驶多少秒两列火车行驶到车头、相距个单位长度?
(3)此时在快车上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客,他发现行驶中有一段时间,他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值(即为定值),你认为学生发现的这一结论是否正确?若正确,求出增定值及所持续的时间;若不正确,请说明理由.
附加题:
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【题目】在三角形ABC中,点D在线段AB上,DE∥BC交AC于点E,点F在直线BC上,作直线EF,过点D作直线DH∥AC交直线EF于点H.
(1)在如图1所示的情况下,求证:∠HDE=∠C;
(2)若三角形ABC不变,D,E两点的位置也不变,点F在直线BC上运动.
①当点H在三角形ABC内部时,直接写出∠DHF与∠FEC的数量关系;
②当点H在三角形ABC外部时,①中结论是否依然成立?请在图2中画图探究,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.
(1)求AD的长;
(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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