【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=6,∠DBC=30°,DM平分∠BDC交BC于M,△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,点F、G、B、C共线,且G、B重合,△EFG沿折线B﹣M﹣D方向以每秒 个单位长度平移,得到△E1F1G1 , 平移过程中,点G1始终在折线B﹣M﹣D上,△E1F1G1与△DBM无重叠时,△E1F1G1停止运动,设△E1F1G1与△DBM重叠部分面积为S,平移时间为t,
(1)当△E1F1G1的顶点G1恰好在BD上时,t=秒;
(2)直接写出S与t的函数关系式,及自变量t的取值范围;
(3)如图2,△E1F1G1平移到G1与M重合时,将△E1F1G1绕点M旋转α°(0°<α<180°)得到△E2F2G1 , 点E1、F1分别对应E2、F2 , 设直线F2E2与直线DM交于P,与直线DC交于Q,是否存在这样的α,使△DPQ为直角三角形?若存在,求α的度数和DQ的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)3
(2)
解:在Rt△DCM中,∵∠C=90°,CD=6,∠CDM=30°,
∴CM=2 ,DM=4 ,
∴BM=4 .
①如图2中,当0<t≤4时,重叠部分是四边形NF1GH,
S=S ﹣S = ×3× ﹣ (2 ﹣ t)(2﹣ t)=﹣ t2+2 t﹣ ,
②如图3中,当4<t≤7时,重叠部分是四边形GHNF1,
S=S ﹣S = ﹣ [2 ﹣ (8 ﹣ t)][2﹣
③如图4中,当7<t≤8时,重叠部分是△GHN,
S= (8 ﹣ t) (8 ﹣ t)= t2﹣6 t+24 ,
综上所述,S=
(3)
解:存在.
理由:①如图5中,当∠DQP=90°时,
∵∠QCM=∠CQF2=∠QF2M=90°,
∴四边形MCQF2是矩形,
∴CQ=MF2= ,∠F2MC=90°
∴α=90°,DQ=CD﹣CQ=6= .
②如图6中,当∠DPQ=90°时,点P与点F2重合,点E、Q、C重合,此时α=120°,DQ=CD=6.
综上所述,当α=90°,DQ=6﹣ 或α=120°,DQ=6时,△DPQ为直角三角形
【解析】解:(1)如图1中,连接AC交BD于点O,作OH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,BO=OD,
∴BH=HC,
∴OH= CD=3,
在Rt△DBC中,∵CD=6,∠DBC=30°,
∴BC=6 ,BD=12,BH=HC=3
∵在△EFG中,∠F=90°,GF= ,∠E=30°,
∴EF=3,EB=2 ,
∴当△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上时,点E平移到点O处.
此时t= =3,
∴t=3时,△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上,
所以答案是3.
【考点精析】关于本题考查的翻折变换(折叠问题),需要了解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等才能得出正确答案.
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【题目】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a,b},直线y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有2个交点,则k的取值为
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论
①a>0,②b>0,③c>0,④b2﹣4ac>0
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点,过了5 s后,测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100 m.
(1)求B,C间的距离.
(2)这辆小汽车超速了吗?请说明理由.
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【题目】长城科技公司生产销售一种电子产品,该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分,经核算,2014年该产品各部分成本所占比例约为2:a:1.且2014年该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元.
(1)确定a的值,并求2014年产品总成本为多少万元;
(2)为降低总成本,该公司2015年及2016年增加了技术成本投入,确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m(m<50%),制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m;同时为了扩大销售量,2016年的销售成本将在2014年的基础上提高10%,经过以上变革,预计2016年该产品总成本达到2014年该产品总成本的 ,求m的值.
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