【题目】已知A是抛物线y2=4x上的一点,以点A和点B(2,0)为直径的圆C交直线x=1于M,N两点.直线l与AB平行,且直线l交抛物线于P,Q两点.
(Ⅰ)求线段MN的长;
(Ⅱ)若 =﹣3,且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等,求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)设A( ,y0),则C的方程为(x﹣2)(x﹣ +y(y﹣y0)=0, 令x=1,得y2﹣y0y+ ﹣1=0,
∴|MN|=|y1﹣y2|= =2;
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4n
∵ =﹣3,
∴x1x2+y1y2= +y1y2=﹣3,
∴n2﹣4n+3=0,
∴n=1或3,此时B(2,0)到直线l的距离d= .
由题意,圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离,
∴ = .
∵m= ,
∴ =64,
∴ =8,
∴m=0,
∴直线l的方程为x=3,
综上,直线l的方程为x=1或x=3.
【解析】(Ⅰ)C的方程为(x﹣2)(x﹣ +y(y﹣y0)=0,令x=1,得y2﹣y0y+ ﹣1=0,利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长;(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程,利用 =﹣3,求出n,直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等,求出m,即可求直线l的方程.
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【题目】如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG的周长为n,则 的值为( )
A.
B.
C.
D.随H点位置的变化而变化
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P不与点B、C重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点C’处;作∠BPC’的角平分线交AB于点E . 设BP=x , BE=y , 则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆C: + =1(a>0,b>0)的离心率为 ,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为 (O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C上的一点,过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M,证明:|PF|+|PM|为定值.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 , 且x1<x2 , 若x1+2x0=3x2 , 函数g(x)=f(x)﹣f(x0),则g(x)( )
A.恰有一个零点
B.恰有两个零点
C.恰有三个零点
D.至多两个零点
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【题目】已知两动圆F1:(x+ )2+y2=r2和F2:(x﹣ )2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点A、B满足: =0.
(1)求曲线C的方程;
(2)证明直线AB恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求△ABM面积S的最大值.
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【题目】小强很喜欢操作探究问题,他把一条边长为8cm的线段AB放在直角坐标系中,使点A在y轴的正半轴上,点B在x轴的正半轴上,点P为线段AB的中点.在平面直角坐标系中进行操作探究:当点B从点O出发沿x轴正方向移动,同时顶点A随之从y正半轴上一点移动到点O为止.小强发现了两个正确的结论:
(1)点P到原点的距离始终是一个常数,则这个常数是_____cm;
(2)在B点移动的过程中,点P也随之移动,则点P移动的总路径长为_____cm.
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