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【题目】已知A是抛物线y2=4x上的一点,以点A和点B(2,0)为直径的圆C交直线x=1于M,N两点.直线l与AB平行,且直线l交抛物线于P,Q两点.
(Ⅰ)求线段MN的长;
(Ⅱ)若 =﹣3,且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等,求直线l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)设A( ,y0),则C的方程为(x﹣2)(x﹣ +y(y﹣y0)=0, 令x=1,得y2﹣y0y+ ﹣1=0,
∴|MN|=|y1﹣y2|= =2;
(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4n
=﹣3,
∴x1x2+y1y2= +y1y2=﹣3,
∴n2﹣4n+3=0,
∴n=1或3,此时B(2,0)到直线l的距离d=
由题意,圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离,
=
∵m=
=64,
=8,
∴m=0,
∴直线l的方程为x=3,
综上,直线l的方程为x=1或x=3.
【解析】(Ⅰ)C的方程为(x﹣2)(x﹣ +y(y﹣y0)=0,令x=1,得y2﹣y0y+ ﹣1=0,利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长;(Ⅱ)设直线l的方程为x=my+n,代入抛物线方程,利用 =﹣3,求出n,直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等,求出m,即可求直线l的方程.

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