Question

12．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0（k≠0）有两个实数根．
（1）判断该方程的两个实数根是否相等，并说明理由；
（2）已知k=9，若△ABC的两边的长分别是这个方程的两个实数根，第三边的长为6，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得出该方程的两个实数根不相等；
（2）将k=9代入x²-（2k+1）x+k²+k=0，得出方程为x²-19x+90=0，由根与系数的关系得出两根之和为19，那么△ABC的周长=19+6=25．

解答 解：（1）该方程的两个实数根不相等，理由如下：
∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，即该方程的两个实数根不相等；

（2）k=9时，方程为x²-19x+90=0，
由根与系数的关系可得，两根之和为19，
∵△ABC的两边的长分别是这个方程的两个实数根，第三边的长为6，
∴△ABC的周长=19+6=25．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．