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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=0.75,有以下的结论:

①△DBE∽△ACD;②△ADE∽△ACD;③△BDE为直角三角形时,BD为8或3.5;

④0<BE≤5.其中正确的结论是_______(填入正确结论的序号)

【答案】①③

【解析】①∵AB=AC∴∠B=C,又∵∠ADE=B∴∠ADC=180°﹣α﹣BDE

∵∠BED=180°﹣α﹣BDE∴∠BED=ADC∴△DBE∽△ACD,故①正确;

②∵∠B=C∴∠C=ADE,不能得到ADE∽△ACD;故②错误,

③当∠AED=90°时,由①可知:ADE∽△ABD∴∠ADB=AED

∵∠AED=90°∴∠ADB=90°,即ADBC

AB=ACBD=CD∴∠ADE=B=αcosα=0.8AB=10BD=8

当∠BDE=90°时,易BDE∽△CAD∵∠BDE=90°∴∠CAD=90°

∵∠B=αcosα=0.8AB=10cosC=0.8CD=12.5BD=BC﹣CD=3.5;故③正确.

④过AAGBCGcosα=0.8BG=8BC=16,易证得BDE∽△CAD

BD=yBE=x ∴∴ ,整理得:y216y+64=6410x

即(y﹣82=64﹣10x0x≤6.4.故④错误.故答案为:①③

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