【题目】如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且BD和CE相交于O点.
(1)试说明△OBC是等腰三角形;
(2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)直线AO垂直平分BC
【解析】
(1)根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB,再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB,从而证明OB=OC;
(2)首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC,再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC.
(1)∵ 在△ABC中,AB=AC,
∴ ∠ABC=∠BCA,
∵ BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA,
∴ ∠ABD=∠CBD ,∠ACE=∠BCE,
∴ ∠OBC=∠BCO,
∴ OB=OC,
∴ △OBC为等腰三角形;
(2)在△AOB与△AOC中,
∵,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,∴直线AO垂直平分BC.(等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(2)若⊙O半径为2,TC=,求AD的长.
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【题目】如图,李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼,为了求得对面办公大楼的高度,李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°,测得办公大楼底部点B的俯角为37°,已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m,办公大楼平台CD=10m.求办公大楼的高度(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈,tan37°≈
,
≈1.73)
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【题目】现有A、B两种手机上网计费方式,收费标准如下表所示:
计费方式 | 月使用费/元 | 包月上网时间/分 | 超时费/(元/分) |
A | 30 | 120 | 0.20 |
B | 60 | 320 | 0.25 |
设上网时间为x分钟,
(1)若按方式A和方式B的收费金额相等,求x的值;
(2)若上网时间x超过320分钟,选择哪一种方式更省钱?
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【题目】综合实践
如图①,,垂足分别为点
,
.
(1)求的长;
(2)将所在直线旋转到
的外部,如图②,猜想
之间的数量关系,直接写出结论,不需证明;
(3)如图③,将图①中的条件改为:在中,
三点在同一直线上,并且
,其中
为任意钝角.猜想
之间的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】阅读材料1:
对于两个正实数,由于
,所以
,即
,所以得到
,并且当
时,
阅读材料2:
若,则
,因为
,
,所以由阅读材料1可得:
,即
的最小值是2,只有
时,即
=1时取得最小值.
根据以上阅读材料,请回答以下问题:
(1)比较大小
(其中
≥1);
-2(其中
<-1)
(2)已知代数式变形为
,求常数
的值
(3)当= 时,
有最小值,最小值为 (直接写出答案).
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【题目】今年.某电动车商场为适应电动车进电梯的需求,需要购进100辆某型号的小型电动车供客户作宣传,经调查,该小型电动车2015年单价为2000元,2017年单价为1620元.
(1)求2015年到2017年该小型电动车单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该小型电动车在A,B两个厂家有不同的促销方案,A厂家买十送一,B厂家全场打九折,试问去哪个厂家买更优惠?
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【题目】有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B.
(1)单独转动A盘,指向奇数的概率是 ;
(2)小红和小明做了一个游戏,游戏规定,转动两个转盘各一次,两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜,数字之和为偶数则小明获胜,请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大.
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【题目】如图,在两个同心圆⊙O中,大圆的弦AB与小圆相交于C,D两点.
(1)求证:AC=BD;
(2)若AC=2,BC=4,大圆的半径R=5,求小圆的半径r的值;
(3)若ACBC等于12,请直接写出两圆之间圆环的面积.(结果保留π)
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