Question

【题目】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

（1）求证：AC=BD；

（2）若AC=2，BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值；

（3）若ACBC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）r为；（3）12π

【解析】

（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；

（2）连接OC、OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长．在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长．在Rt△COE中可求得OC的长；

（3）连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE．由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=BCAC=12，则可求得圆环的面积．

（1）过O作OE⊥AB于点E，如图1，由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE﹣CE=BE﹣DE，∴AC=BD；

（2）连接OC、OA，如图2．

∵AC=2，BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1．

在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16．

在Rt△COE中，由勾股定理可得：OC2=CE2+OE2=12+16=17，∴OC=，即小圆的半径r为；

（3）连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE=BE．

在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）AC=BCAC=12，∴OA2﹣OC2=12，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．