Question

【题目】某商品现在的售价为每件60元，每个星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件．已知商品进价为每件40元，设每件商品的售价为x元（且x为正整数），每个星期的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每星期的销售利润为W，请直接写出W与x的关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；（3）定价为65元时可获得最大利润为6250元

【解析】

（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系．

（2）设每星期所获利润为W，根据一星期利润等于每件的利润×销售量得到W与x的关系式；

（3）把（2）中解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案．

（1）根据题意得：涨价时，y=300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降价时，y=300+20（60﹣x）（40≤x＜60），整理得：；

（2）当涨价时，y=（x﹣40）（﹣10x+900）（60≤x≤90），当降价时，y=（x﹣40）（﹣20x+1500）（40≤x＜60）；

综上所述： ；

（3）当涨价时，W=（x﹣40）（﹣10x+900）=﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），当x=65时，W的最大值是6250；

当降价时，W=（x﹣40）（﹣20x+1500）=﹣20（x﹣57.5）2+6125 （40≤x＜60），所以定价为：x=57.5（元）时利润最大，最大值为6125元．

综合所述，定价为65元时可获得最大利润为6250元．