【题目】如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(2)若⊙O半径为2,TC=,求AD的长.
【答案】(1)65°;(2)2.
【解析】
试题(1)连接OT,根据角平分线的性质,以及直角三角形的两个锐角互余,证得CT⊥OT,CT为⊙O的切线;
(2)证明四边形OTCE为矩形,求得OE的长,在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解.
试题解析:(1)连接OT,∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA,又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC,又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT,∴CT为⊙O的切线;
(2)过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四边形OTCE为矩形,∵CT=,∴OE=
,又∵OA=2,∴在Rt△OAE中,AE=
,∴AD=2AE=2.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O,连接DE、BF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若AB=16cm,BC=8cm,求四边形DEBF的面积.
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【题目】如图所示,已知:点A(0,0),B(,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…,则第
个等边三角形的边长等于__________.
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【题目】已知⊙O的半径为5,弦AB=6,P是AB上任意一点,点C是劣弧的中点,若△POC为直角三角形,则PB的长度( )
A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 2或4
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【题目】△ABC是边长为2的等边三角形,点P为直线BC上的动点,把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE,O为AB边上一动点,则OE的最小值为____.
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【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
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【题目】如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且BD和CE相交于O点.
(1)试说明△OBC是等腰三角形;
(2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
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