Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若AB=16cm，BC=8cm，求四边形DEBF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）80（cm2）

【解析】

（1）由题意得出∠OBE=∠ODF，由BD的垂直平分线得出OB=OD，证得△BOE≌△DOF，得出OE=OF，推出四边形BEDF是平行四边形，再由EF垂直平分BD，得出BE=DE，即可得出结论；
（2）由矩形、菱形的性质与勾股定理解得：BE=10cm，即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC，AB∥DC，

∴∠OBE=∠ODF，

∵BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，

∴OB=OD，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，

∴四边形BEDF是菱形；

（2）解∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8cm，AE=AB-BE=16-BE，

∵BE=DE，在Rt△DAE中，DE2=AD2+AE2，

即BE2=82+（16-BE）2，

解得：BE=10（cm），

∴四边形DEBF的面积=ADBE=8×10=80（cm2）