Question

如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上一点，且AC=CP，直线PB交⊙O于点D．
（1）求证：CP=CD；
（2）若⊙O的直径是2，∠A=30°，求图中BC的长及阴影部分的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接BC，则可知BC⊥AP，结合AC=PC，可得AB=BP，则∠A=∠P，结合图形得∠A=∠D，所以可得∠D=∠P，得出结论；
（2）在Rt△ABC中可求得BC，连接OC，可求得扇形OBC的面积，进一步求得弓形的面积，再利用△BCP的面积相减可求得阴影部分的面积．

解答：（1）证明：如图1，连接BC，

∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，且AC=CP，
∴△ABP为等腰三角形，
∴∠A=∠P，
又∵∠A=∠D，
∴∠P=∠D，
∴CP=CD；

（2）解：如图2，连接OC，

∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∵AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，则AC=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴S_扇形BOC=

1

6

π×1²=

π

6

，S_△BOC=

1

2

S_△ABC=

3

4

，
∴S_弓形BOC=S_扇形BOC-S_△BOC=S_扇形BOC=

π

6

-

3

4

，
∴S_阴影=S_△PCB-S_弓形BOC=S_△ABC-S_弓形BOC=

3

2

-（

π

6

-

3

4

）=

3 3

4

-

π

6

．

点评：本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质、扇形面积的计算等，解题的关键是把阴影部分的面积化成规则图形的面积的和或差．