Question

已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，当△ABC的面积为48，且BC边上的高大于BC时，求出BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC的面积不小于48时，请直接写出BC长的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）先表示出三角形的高，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的数量关系，当y=48时求出x的值即可；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出结论；
（3）根据解析式就可以求出函数的开口方向，当48=-0.5x²+10x求出x的值，由抛物线的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）由题意，得
y=

x(20-x)

2

，
∴y=-0.5x²+10x，
当y=48时，48=-0.5x²+10x，
解得：x₁=12，x₂=8．
当x=12时，高为8，当x=8时，高为12．
∵BC边上的高大于BC，
∴BC=8．
答：y与BC的长x之间的函数关系式为y=-0.5x²+10x，当△ABC的面积为48，且BC边上的高大于BC时，BC的长为8；
（2）∵y=-0.5x²+10x，
∴y=-0.5（x-10）²+50，
∴a=-0.5＜0，
∴x=10时，y_最大=50．
答：当BC=10时，△ABC的面积最大，最大面积是50；
（3）由题意，得
-0.5x²+10x=48时，
x₁=12，x₂=8．
∵a=-0.5＜0，
∴抛物线的开口向下，由函数图象可以得出当y≥48时，
∴8≤BC≤12．

点评：本题考查了三角形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．