Question

2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=$\frac{14}{3}$，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD、BD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得ED=EB，则∠2=∠3，加上∠1=∠4，所以∠ODE=90°，然后根据切线得判断定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）先证明OE为△BAC的中位线得到OE∥AC，则∠BAD=∠BOE，则在Rt△OBE中，利用余弦的定义得cos∠BOE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{5}$，设OB=3x，则OE=5x，再利用勾股定理得到BE=4x，即4x=$\frac{14}{3}$，解得x=$\frac{7}{6}$，于是利用OE=5x求解．

解答 解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD、BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴∠2=∠3，
而OB=OD，
∴∠1=∠4，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵OA=OB，BE=CE，
∴OE为△BAC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=cos∠BOE=$\frac{3}{5}$，
在Rt△OBE中，cos∠BOE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{3}{5}$，
设OB=3x，则OE=5x，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{B}^{2}}$=4x，
∴4x=$\frac{14}{3}$，解得x=$\frac{7}{6}$，
∴OE=5x=$\frac{35}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了余弦的定义．