Question

7．已知．Rt△ABC≌Rt△EBD，CD交AE于F．
（1）如图1，当Rt△ABC和Rt△EBD均为等腰直角三角形时，若点D落在边AB上，猜想线段AF与线段EF的数量关系，并证明；
（2）如图2，线段AF、EF的数量关系保持不变吗？如果不变，请证明，如果发生改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到BC=BD，AB=BE，∠ABC=∠ABE=45°，根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-45°}{2}$，等量代换得到∠FAD=∠ADF，由等腰三角形的判定得到AF=DF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
（2）连接BF，根据全等三角形的性质得到AB=BE，CB=BD，∠CBA=∠DBE，根据角的和差得到∠CBD=∠ABE，由等腰三角形的性质得到∠CDB=$\frac{180°-∠CBD}{2}$，∠BEA=$\frac{180°-∠ABE}{2}$，推出B，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠BFE=∠BDE=90°，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）AF=EF，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴BC=BD，AB=BE，∠ABC=∠ABE=45°，
∴∠BAE=∠BCD=∠BDC=$\frac{180°-45°}{2}$，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∵∠ADE=90°，
∴∠FDE=∠FED，
∴EF=DF，
∴AF=EF；

（2）连接BF，
∵Rt△ABC≌Rt△EBD，
∴AB=BE，CB=BD，∠CBA=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
∴∠CDB=$\frac{180°-∠CBD}{2}$，∠BEA=$\frac{180°-∠ABE}{2}$，
∴∠CDB=∠BEA，
∴B，E，D，F四点共圆，
∴∠BFE=∠BDE=90°，
∴BF⊥AE，
∴AF=EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练则各定理是解题的关键．