Question

12．在⊙O中，弦AB=BC=CA，D为$\widehat{BC}$上一点．（不与点B，C重合），连接AD，BD，CD
（1）如图①，若点D是$\widehat{BC}$的中点．结论：AD=BD+CD 是否成立？写出判断不用证明；
（2）如图②，若点D在$\widehat{BC}$上移动，结论：AD=BD+CD是否成立？写出判断给出证明；
（3）若BC=3，在（2）的条件下，求BD+CD的取值范围（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）设圆O的半径为R，连接BO、CO，由AB=BC=CA，所以△ABC为等边三角形，再证明△BOD与△COD为等边三角形，所以BD=DC=R，由AD=2R，所以BD+DC=AD．
（2）如图2，延长BD至E点使得CD=DE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可得到AD=BE=BD+DE．
（3）在（2）的条件下，3＜BD+DE≤2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）设圆O的半径为R，连接BO、CO，

∵AB=BC=CA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵点D是$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD为等边三角形，
∴BD=DC=R，
∵AD=2R，
∴BD+DC=AD．
（2）如图2，延长BD至E点使得CD=DE，

由图2可知∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE；
∵∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE=BD+DE．
（3）在（2）的条件下，
由圆周角定理可得：∠DBC=∠DAC=30°，∠BCD=∠BAD=30°，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°，
∴BE=2CE，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²
3²+CE²=（2CE）²
解得：CE=$\sqrt{3}$，
则BE=2$\sqrt{3}$，
∴BC+CD=BD+DE=BE=2$\sqrt{3}$，
由三角形两边之和大于第三边，
∴BD+DE＞3，
∴3＜BD+DE≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．