Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，在∠BAC内部有一点D，AB=AD，将△BDC向下翻折得到△MDC，连接BM．
（1）求证：∠BDM=∠BAC；
（2）当∠BAC=60°时，延长AD交MC于N，连接BN，过C作CH⊥AN于H，AN：CN=4：3，BN=2，求AH的长？

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到∠BDC=∠MDC，设∠ADB=x，∠ADC=y，于是得到∠BDC=∠MDC=x+y，推出∠BDM=360°-∠MDC-∠BDC=360°-2（x+y），根据等腰三角形的性质得到∠BAD=180°-2x，推出∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-2x+180°-2y=360°-2（x+y），于是得到结论；
（2）根据折叠的性质得到BD=MD，由于∠MDB=∠BAC=60°，得到△BMD为等边三角形，于是得到AB=BC，BD=BM，∠DBM=∠ABC=60°推出△ABD≌△CBM，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠CMB，CM=AD，于是得到∠ADB+∠BDN=180°，推出∠MBD+∠MND=180°，得到∠MBD+∠MND=180°，推出B，M，N，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠BND=∠BMD=60°，截取NG=DN，于是得到△NGD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠GDN=∠BDM=60°，DN=DG，得到∠BDG=∠MDN，推出△BGN≌△MND，根据全等三角形的性质得到NM=DN，BG=MN，由于BN=BG+GN=2，于是得到DN+MN=2，设AN=4x，CN=3x，求得AD=AN-DN=4x-DN，CM=CN+MN=3x+MN，求得x=2，根据直角三角形的性质即可得到结论．．

解答 （1）证明：∵将△BDC向下翻折得到△MDC，
∴∠BDC=∠MDC，设∠ADB=x，∠ADC=y，
∴∠BDC=∠MDC=x+y，
∴∠BDM=360°-∠MDC-∠BDC=360°-2（x+y），
∵AB=AD，
∴∠BAD=180°-2x，
∵AB=AC=AD，
∴∠DAC=180°-2y，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-2x+180°-2y=360°-2（x+y），
∴∠BDM=∠BAC；

（2）解：∵将△BDC向下翻折得到△MDC，
∴BD=MD，
∵∠MDB=∠BAC=60°，
∴△BMD为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BM，∠DBM=∠ABC=60°，
∴∠CBM=∠DBA，
在△ABD与△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBM=∠DBA}\\{BM=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBM，
∴∠ADB=∠CMB，CM=AD，
∴∠ADB+∠BDN=180°，
∴∠MBD+∠MND=180°，
∵∠MBD=60°，
∴∠MND=120°，
∴∠ANC=60°，
∵∠MBD+∠MND=180°，
∴B，M，N，D四点共圆，
∴∠BND=∠BMD=60°，
截取NG=DN，连接DG，
∴△NGD是等边三角形，
∴∠GDN=∠BDM=60°，DN=DG，
∴∠BDG=∠MDN，
在△BGD与△MND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=MD}\\{∠BDG=∠MDN}\\{DG=DN}\end{array}\right.$，
∴△BGN≌△MND，
∴NM=DN，BG=MN，
∵BN=BG+GN=2，
∴DN+MN=2，设AN=4x，CN=3x，
∴AD=AN-DN=4x-DN，CM=CN+MN=3x+MN，
∵CM=AD，
∴4x-DN=3x+MN=2，
∴x=2，
在Rt△CMH中，∵∠ANC=60°，
∴∠HCN=30°，
∴$NH=\frac{1}{2}NC$=$\frac{3}{2}$x，
∴$AH=AN-HN=4x-\frac{3}{2}x=2.5x$，
∴AH=5．

点评 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等边三角形是解题的关键．